Vánoční matematika – řešení

Kde jsou příklady, měla by být i řešení.



Začneme odzadu. Existuje třída úloh, které se na první pohled jeví lehce řešitelné, za použití selského rozumu. Mozek je dobře trénován v odhadování situací protože odhad je mnohem rychlejší a přesnost odhadu je většinou pro řešení konkrétní situace přijatelná. Důkladná analýza nějakou dobu trvá a za situace, kdy je na rychlosti reakce závislé přežití se mozek spokojí s tím, že padající traverza padá „rychle" než aby počítal „jak rychle", takže uvede nohy do pohybu dřív, aby jedinec tyto nohy používající, pokud možno v době dopadu na původním místě již nebyl.

Zběhlost v odhadech pak mozek používá i při řešení abstraktních úloh. Je totiž všeobecně známo, že přemýšlení bolí, takže je nejjednodušší se vydat cestou nejmenšího odporu a použít lineární myšlení. V příkladě č. 3 je klasickou odhadnutou odpovědí, že lopatička stojí 10 Kč.

Řešení příkladu 3
lopatička + kyblíček = 110
lopatička + 100 = kyblíček
------------------------------------
Provedeme substituci tím, že do první rovnice dosadíme hodnotu kyblíčku z druhé rovnice
lopatička + (lopatička + 100) = 110

odstranime závorky
lopatička + lopatička + 100 = 110

převedeme číslo na druhou stranu
lopatička + lopatička = 110 – 100

sečteme lopatičky
2xlopatička = 10

Vydělíme celou rovnici dvěma
2/2xlopatička = 10/2

po výpočtu
1xlopatička = 5

Zbývá ještě dopočítat, kolik stojí kyblíček
kyblíček = 110 – lopatička = 105 Kč

Mnohem ilustrativnější než výše uvedený je příklad dodaný Milošem v komentáři č. 15 minulého článku, kde se prvoplánově nabízí odhadnutá odpověď, že z kopce je nutné použít rychlost 90 km/hod, protože přece 30 + 90 děleno 2 je 60.

Řešení příkladu 2
Při řešení úlohy proč vlak, když jede po kolejích, dělá tudum tudum se nabízí řešení více.

Logické řešení dodané Milošem spočívá v konstatování, že vlak dělá tudum tudum protože jede. A skutečně, kdykoliv se zaposloucháte do zvuků stojícího vlaku tudum tudum neslyšíte.

Fyzikální řešení spočívá v tom, že tudum tudum se ozývá při přejezdu kola přes šroubované spoje kolejnic, kdy je mezi kolejnicemi ponechána z důvodu teplotní roztažnosti železa mezera. Kolo přejíždí přes mezeru a naráží do druhé kolejnice, čímž vyluzuje zvuk „tu". Protože místní vagóny mají podvozky tvořené dvojicí kol na každé straně, tak druhé kolo pak vydá doprovázející „dum". Dohromady tedy obě kola udělají „tudum". Druhé „tudum" pak vyrobí dvojice kol sousedícího vagónu.

Zěměpisné lokální podmínky, pak způsobují, že v Americe dělají vlaky důdá důdá, protože v tej Amerike tou dobou neměli tak složité podvozky, a vagóny na konci měly jen jedno kolo.
Správnost řešení mírně nabourává fakt, že kolejnice se v současné době již svařují, takže tudum je slyšet už jen občas.

Matematické řešení problému je následující. Nejprve je třeba zjistit, co vlastně jede po kolejích. Je to kolo. Co je to kolo matematicky? Kruh. Rovnice pro obsah kruhu je Pí krát r². Když si to rozebereme tak se ve vzorci vyskytují dvě věci.

Máme tu Pí a r². Pí je konstanta a tu můžeme zanedbat. Co nám zbyde?

Zbývá r². Co je r²? Je to rovnice čtverce.

Takže je naprosto jasné, proč se ozývá tudum, když po kolejích jede čtverec.
Ještě zbývá doplnit, že podle statistik bylo zjištěno, že při železničních neštěstích bývají nejvíce postiženy první, nebo poslední vagón. Nejjednodušším řešením tohoto problému by bylo takové nařízení drah, aby první a poslední vagón nebyly zařazovány do soupravy.

Řešení příkladu 1
Tato úloha je na první pohled zcela neřešitelná a přípomíná slavné Haškovy úlohy ze Švejkových příhod v blázinci, ale můžeme se o řešení aspoň pokusit.

První podmínka udává:
Věk_Ježíška + 21 = Věk_Marie

Z druhé podmínky plyne
5x(Věk_Ježíška +6) = Věk_Marie + 6

Nejprve provedeme substituci nahrazením Marie v druhé rovnici
5x(Věk_Ježíška + 6) = (Věk_Ježíška + 21) + 6

Odstraníme závorky
5x Věk_Ježíška + 5x6 = Věk_Ježíška + 21 + 6

Převedeme čísla na jednu stranu a Ježíška na druhou
5x Věk_Ježíška – Věk_Ježíška = 21 + 6 – 30

Vytkneme Ježíška za závorku
(5 – 1)xVěk_Ježíška = 27 – 30

Vyčíslíme závorku
4xVěk_Ježíška = – 3

Vydělíme celou rovnici 4
Věk_Ježíška = -3/4

Docházíme na první pohled k nesmyslnému závěru, že věk Ježíška je minus ¾ roku.

Že by někomu začalo svítat?

Kolik má rok měsíců? A kolik je z toho 3/4? Správně 9 měsíců. A co znamená to mínus?

Ano správně.

Takže na první pohled nesmyslná ostázka Co právě dělá Otec Bůh má poměrně jednoznačné řešení.






Souvisejcí článek
Vánoční matematika





Rubrika: Šepoty a výkřiky | 1.01.2010, 17:35:00